YХауTAng,1QUanyingWU,1,* XIaoyiCКокошка2 ИHAoZЗакачете1,2
1Kiangsu Key Laboratory of Micro and Nano Team Fluid Fluid Fluid Technology and Energy, Училище по математика и физика, Университет за наука и технологии в Сучжоу, Сужоу, Джиангсу, 215009, Китай
2Станция за дипломиране в Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, Китай
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Резюме: Предлагаме числен метод за проектиране на прогресивен добавен обектив (PAL), който може да задоволи повече лични нужди в сравнение с използването на аналитичното решение на уравнението на Лаплас. В нашия метод спомагателната функцияu(x, y) на PAL се получава чрез численото решение на уравнението на Лаплас с граничните и връзките. Граничното условие се получава с помощта на генетичния алгоритъм с входа от индивидуалното изискване. Състоянието на връзката се определя по метода на крайната разлика с по -плавноu(x, y) на меридиана. Дадени са два примера за открито и на открито и
Използване на офиса. И в двата случая зоната на астигматизма е изтласкана към малка зона близо до ръба на обектива.
© 2017 Оптично общество на Америка
OCIS кодове:(220.0220) Оптичен дизайн и изработка; (080.0080) Геометрична оптика.
Референции и връзки
JT Winthrop, Wellesley и Mass, „Обектив за прогресивно добавяне на спектакъл“, американски патент номер 4861153, 1989.
T. Steele, H. McLoughlin и D. Payne, „Прогресивна мощност на добавяне“, номер на патент на САЩ 6776486B2, 2004.
J. Loost, G. Greiner и HP Seidel, „Вариационен подход за прогресивен дизайн на обектива“, Comput. Помогнати DES.
30(8), 595–602 (1998).
J. Wang, „Дизайн на прогресивни лещи-математически анализ и числени методи“ (Eden Prairie: Докторска дисертация на Университета на Минесота, 5–54 (2002).
J. Wei, W. Bao, Q. Tang и H. Wang, „Цифров метод за различно различие за проектиране на лещи за прогресивно добавяне“, Comput. Помогнати DES.48(3), 17–27 (2014).
Q. Wu, L. Qian, H. Chen, Y. Wang и J. Yu, „Изследване на дизайна на меридианските линии за прогресивни лещи“, Acta Opt. Грех.29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang, Q. Wu, X. Chen, H. Zhang и Y. Long, „Оптимизация на линията на меридиан на прогресивни добавки, базирани на генетичен алгоритъм“, Acta Opt. Грех.34(9), 09220051–09220057 (2014).
Z. DA,Основи на смятането на вариациите (второ издание), (Национална отбранителна индустрия, 2007), гл. 2.
З. Фен, азТоди за частични диференциални уравнения (строителство), (China Machine, 2013), гл. 1.
WH Press, Sa Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery,Числени рецепти в C: Изкуството на научните изчисления(Cambridge University, 1992), Sec. 19.2, 19.5.
1. Въведение
Прогресивният леща за добавяне (PAL) осигурява безпроблемно ясно зрение на различни разстояния за гледане. Има две основни категории методи за проектиране на приятели. Човек принадлежи на директен метод. Например, Winthropи др. [1] описа система, в която дизайнерите посочиха фокусната мощност по пъпния меридиан. Както формата на останалата част от обектива, така и кривината на прогресивната повърхност се определят от спомагателната функцияu(x, y). Контурите на спомагателната функция наx-y равнината се нарича криви на нивото. The
Спомагателната функция се получава чрез аналитично решаване на уравнението на Лаплас. Стийли др. [2] посочи фокусната мощност върху цялата повърхност, използвайки коникс (като спомагателна функция) и получи повърхностната форма на PAL чрез решаване на елиптично частично диференциално уравнение. Другият начин е да се определи косвено повърхността на PAL. Например, Loostи др. [3], Ванг
[4], WEI [5] разработи функция за оценка, която се опитва да постигне баланс между желаното разпределение на фокусната сила и нежелания астигматизъм. Повърхността на PAL се получава чрез числено минимизиране на функцията за оценка. В директните методи проектите на меридианската фокусна мощност и кривите на нивото са две ключови точки. Наскоро е описана техниката за търсене на оптимизираното разпределение на фокусната мощност върху линията на меридиан [6,7]. Winthropи др. и Стийли др. представи аналитичните изрази за кривите на нивото [1,2]. Всички тези методи имат само два или три параметъра за регулиране на кривите на нивото. Следователно тяхната способност да отговарят на личните нужди за корекция на зрението е ограничена.
Предлагаме метод, който може да задоволи повече лични нужди в сравнение с споменатите по -горе методи. В нашия подход кривите на нивото се получават чрез числено решаване на уравнението на Лаплас с граничните и връзките, които зависят от индивидуалната ситуация. Съществува сложна връзка между граничното състояние на уравнението на Лаплас и астигматизма. Граничното условие се получава с помощта на генетичния алгоритъм с входа от персонализираното изискване. За да сведем до минимум астигматизма на линията на Меридиан, предлагаме по -плавно състояние на връзката, използвайки принципа на вариация и метода на крайната разлика. Методът осигурява гъвкавост и ефективност за определяне на индивидуализирана леща.
2. Дизайн на кривите на нивото за прогресивно добавяне на обектив
Повърхността на PAL е разделена на четири области (фиг. 1). Площта на разстоянието 1 в горната част на обектива има сравнително ниска фокусна мощност. Близката зона 2 е 10-18 mm под областта на разстоянието и има сравнително висока фокусна мощност. Прогресивният коридор 3 свързва разстоянието и близо до районите. Областите на астигматизма 4 са вляво и отдясно на прогресивния коридор със сравнително тежък астигматизъм. Разликата във фокусната мощност между референтната точка А в областта на разстоянието и референтната точка В в близката зона се счита за мощност на добавяне (добавяне) на PAL. Районът на разстоянието, близо до района и прогресивния коридор, се нарича ефективни зрителни региони. Зоните на астигматизма не могат да се използват за коригиране на визията на носител.
Фиг. 1. Четири региона на приятел.
Произходът O е центърът на обектива иx-y Самолетът е допирателен към обектива. Оста X сочи надолу в посока на увеличаване на фокусната мощност. Thez-axis изтъква от хартията към читателя. Линията на Меридиан свързва точки A и B. Разстоянието между точка А и В е дължината на прогресивния коридор.
Директният метод на проектиране е разделен на няколко стъпки. Първата стъпка е да се проектира меридианската фокусна мощност (по линията на Меридиан) и спомагателната функцияu(x, y). Второто
Стъпка е да се определи кривината и центровете на кривината във всяка точка на повърхността на PAL. Последната стъпка е да се получи височината на вектораz(x, y) .
Разпределението на фокусната мощност трябва да бъде гладко над повърхността на обектива, така че спомагателната функцияu(x, y) трябва да се разпространява гладко. Критерий за гладкост изисква квадратичната сума на частичните производни ¶u / ¶x и ¶u / ¶y да бъде минимум, т.е.
Дирихлетът интеграл е минимален. Според принципа на вариация на Ойлер-Лагранж, спомагателната функцияu(x, y) удовлетворява уравнението на Лаплас
Предлагаме да разрешим Eq. (1) Използване на числена техника. Граничното условие на уравнението на Лаплас се оптимизира с помощта на генетичния алгоритъм, докато състоянието на връзката се получава по метода на крайната разлика.
2.1 Граничното условие на уравнението на Лаплас
Контролната точкаuk представлява една от точките на мрежата на границата на изчислителния домейн ω и е дефинирана като
Тукh е свързан с продължителността на прогресивния коридор,L е разстоянието от точка А до оригиналната точка О иpk е контролният параметър на генетичния алгоритъм, вариращ от 0 до 1.K е броят на „хромозомите“ в генетичния алгоритъм. Последователността на всички „хромозоми“h - L .
pk представлява вектор като „индивид“. Стойността наuk варира от -L да
Обективната функцияf От генетичния алгоритъм отговаря на достойнствата на вектора [7]
Тук F1 е максималният астигматизъм на приятел. Максималният астигматизъм трябва да отговаря на изискването f* =r P - P , къдеP иP са фокусните сили в точки A и B, 1A B A B иr е коефициентът на претегляне на допълнителната мощност. Еi ( i = 2, 3l6) са средните стойности на астигматизма в зоната на разстояние, близо до района и прогресивния коридор и дваЗоните на астигматизъм съответно. Еi ( i = 7, 8, 9) са средните стойности на мощността в зоната на разстоянието, съответно близо до района и прогресивния коридор. F* са съответните обективни стойности. Еi Промяна в цикъла на генетичния алгоритъм за търсене на оптимизираната границаусловия.a1 ,...,a6 са съответните фактори на претеглянето на районите на астигматизма.a7 ,a8 иa9 са съответните фактори на тегло на зоните за разликата в фокусната мощност.r ( 0.75 £ r £ 1) иai ( 0.1 £ ai £ 2) са относителни стойности и се определят от предпочитанията на носителите. За дейности на открито е необходима широка зона на разстояние, така че коефициентът на претеглянеa2 трябва да е по -голям отa3. За офисните дейности, по -малка зона за разстояние и по -голямаВ близост до зоната се искат, така че коефициентът на претеглянеa3 трябва да е по -голям отa2. Във всеки случай искаме астигматизмът възможно най -малко, но усилията са ограничени от друго търсене, като размерите на ясното разстояние и близо до регионите. Всъщност това е компромис сред зоната на разстояние, близката зона и астигматизма.
2.2 Състоянието на връзката на уравнението на Лаплас
В предишното изкуство [1] спомагателната функцияu(x, y) по линията на меридиан между точки А и Б е следното
За да намалим астигматизма на PAL, се опитваме да запазим фокусната мощност стабилна
Отвъд точка А и точка Б по линията на Меридиан. Функциятаu(x, 0) трябва да променя повече
гладко. В точки А и Б,u(x, 0) е равен наx, наклоните трябва да са равни на нула,u(x, 0) трябва да има по -висок редN от първите нетишителни диференциални производни. По линията на меридиан между точки А и В, абсолютните стойности на диференциалните производни са
минимум, когато поръчката е по -малка отN или равен наN .
Минимизираме сумирането на квадрата на производни с поръчката от 1 до n
Аналитичният израз наu(x, 0) за минимум Eq. (5) удовлетворява уравнението на Ойлер-Поасон [8]
От уравнение. (7) и уравнение. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) в уравнение. (10) се получават. Тогава спомагателната функцияu(x, 0) на линията на меридиан се получава.
Освен това,ui, j от две страни на меридианската линия с ширинаd се определя от схемата за ограничена разлика [9]. Използваме квадратна решетка (xi , y j ) за числено изчисляванеui, j .
Даденоui, j = u(xi , y j ), формулата за центрирана ограничена разлика се използва за второто производно
Тук äy е размерът на стъпката. Предполагайки симетричната ос наu(x, y) е равен наui, j -1. Пренареждане на уравнение. (11), ние получаваме линията Меридиан,ui, j +1
(12) Въз основа на уравнението на Лаплас и добавете коефициент на оптимизацияau , получавамеu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Тогава стойностите наui, j ± n n = 1, 2, 3 ... са анализирани на свой ред. Стойностите наu(x, y) Между лявата и дясната граница на прогресивния коридор се получават. Ширината на прогресивния коридор и факторите на оптимизацияau промяна според различни лични нужди.
Числено решение на уравнението на ЛапласУравнението на Лаплас с граничните и връзките, получени по -горе, може да бъде записано като ¶y2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Тук домейнът ω е квадратна област, допирателна към приятел,BG границата,DL зоната на състоянието на връзката, състояние
f(xG , yЖ) оптимизираното гранично условие иj(xL , yL )
Връзката уравнението на Лаплас се променя в набор от уравнения на разликата чрез схемата на крайната разлика.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) Тукg = Äx = Äy е стъпката и страничната дължина на квадрата Ω еmgсm цяло число.
Линейни еквиваленти. (15) се решават чрез последователния подход за релаксация на покритието (SOR) [10]. Техниката на SOR използва повтаряща се серия от почивки над мрежата, за да се сближи с решение. Скоростта на конвергенция зависи от стойността на коефициента на релаксация (ORF), а предпочитаната стойност на ORF се определя експериментално. Важно предимство на техниката на SOR е, че тя достига до конвергенция във времето, пропорционално на квадратния корен на броя на мрежестите точки. Тази функция предполага, че при скромни разходи в изчислително време може да бъде приложена достатъчна плътност на окото, за да се сближи SOR в решението.
3. ПРИМЕРИ И ДИСКУСИЯ
Прилагаме предложения метод към два примера, за да демонстрираме как се постига специфично разпределение на фокусната мощност и астигматизма на PAL чрез съответните условия на гранична и връзка. В първия пример потребителят използва PAL за дейности на открито. Следователно е необходима зона на широка разстояние. Според рецептата, PAL има -2. 00 диоптер фокусна мощност в зоната на разстоянието и + 2. 00 диоптер захранване. Индексът на пречупване на материала на лещата е 1,523. Предната повърхност на PAL е сферична повърхност с + 2. 00 диоптер фокусна мощност. Задната повърхност е прогресивна повърхност на добавяне с -4. 00 диоптер фокусна мощност в областта на разстоянието и -2. 00 фокусна мощност на диоптера в близката зона. Стойностите наh иL са съответно 34 и 17.
За да се сравни ефективността на предложения метод с предишните аналитични методи, прогресивна повърхност се изчислява по метода на Winthrop. Решението на уравнението на Лаплас е аналитичен израз с параметриh , L , x иy . Кривите на нивото са
показано на фиг. 2.
Фиг. 2. Кривите на нивото, получени чрез аналитично решаване на уравнението на Лаплас.
Височината на вектораz(x, y) се получава от поредица от уравнения. Въз основа на елементарното
Изчисляват се диференциална геометрия, фокусната мощност и астигматизмът на прогресивната повърхност. Контурите от тях са показани на фиг. 3. Дължината на прогресивния коридор е около 16 mm. Ширината на ясната зона (астигматизъм<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm е около 26 mm, което не е достатъчно широко за зрение на открито.
Фиг. 3. Фокалната мощност (А) и астигматизмът (б) на прогресивната повърхност по метода на Уинтроп.
За да получите по -широка зона на разстояние, коефициентът на претеглянеai на обективната функция за определяне на граничните условия на уравнението на Лаплас е избран, както е показано в таблица 1. Граничните условия, получени с генетичния алгоритъм, са показани на фиг. 4 и фиг. 5.
Фиг. 4. Гранични условия на лявата и дясната страна.
Фиг. 5. Гранични условия на разстоянието и близо до зоните.
Чрез решаване на уравнението на Лаплас числено с условията на границата и връзката, оптимизиранотоu(x, y) се получава. Контурите на оптимизирани
u(x, y) са показани на фиг. 6.
Сравнете с фиг. 2, площта е по -широка, в която стойността наu(x, y) това е по -малко от -14.
Фиг. 6. Контурни линии на оптимизираниu(x, y) в първия пример.
Веднъжu(x, y) се получава,z(x, y) могат да бъдат получени с помощта на горните стъпки на дизайна. Контурите на фокусната мощност и астигматизма са показани на фиг. 7. Оптичното изпълнение на прогресивната повърхност е дадена в таблица 3. Човек може да се види, че зоната на разстоянието (фокусна мощност<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm е около 46 mm, което е по -подходящо за зрение на открито.
Фиг. 7. Фокалната сила (а) и астигматизмът (б) на прогресивната повърхност в първия пример.
Палът на първия пример е произведен с гравиране на ЦПУ и полираща машина. Оптичните свойства се измерват с проверка на формата без Rotlex (FFV) за осигуряване на фокална мощност и астигматизъм (или наречен цилиндър) на PAL. Контурите на тестваната фокална мощност и астигматизъм са показани на фиг. 8. Оптичната характеристика на PAL е показана в таблица 3. Той е по -малък от 0. 0 2 диоптер, че разликата на мощността на добавянето между прогресивната повърхност и произведения PAL. Отклонението на максималния астигматизъм е по -малко от 0,02 диоптер. Поради влиянието на кривината на предната повърхност, ширината се намалява 12 mm и 2 mm в зоната на разстояние (астигматизъм<0.5 diopter, x = -10 mm) и близо до зона (астигматизъм<0.5 diopter, x = 18 mm) на произведения PAL от тези на прогресивната повърхност.
Фиг. 8. Фокалната сила (а) и астигматизмът (б) на PAL, тествани от FFV.
Във втория пример основните параметри са същите като тези на първия. Палът се използва в офиса. Следователно са необходими по -голям близък район и по -широк коридор. Ширинатаd е настроен на 9 mm вместо 6 mm, както в първия пример. Факторите за претегляне, основани на необходимостта от почти зрение, са показани в таблица 2. Граничните условия, получени с генетичния алгоритъм, са показани на фиг. 9 и фиг. 10. Контурите на оптимизиранитеu(x, y) са показани на фиг. 11.
Фиг. 9. Гранични условия на лявата и дясната страна.
Фиг. 10. Гранични условия на разстоянието и близо зоните.
Фиг. 11. Контурни линии на оптимизираниu(x, y) Във втория пример.
Фигура 12 показва контурите на фокусната сила и астигматизма на втория пример. Таблица 3 е сравнението на оптичното изпълнение между първия пример и втория пример. Ширината на зоната на разстояние на първия пример е с 24 мм по -широка от тази на втория пример приx = -10 mm. Ширината на близо до площта на втория пример е с 8 мм по -широка от тази на първия пример приx = 18 mm. Максималният астигматизъм на втория пример е по -малък от този на първия пример, а ширината на коридора е по -широка.
Фиг. 12. Фокалната мощност (А) и астигматизмът (б) на прогресивната повърхност във втория пример.
Таблица 1 и Таблица 2 са факторите на претегляне, основаващи се на различните нужди на носителя. Параметрите наr иai на обективната функция се определят от нуждите и предпочитанието на потребителя. Факторът за тегло на астигматизмаa2 е избран по -голяма стойност за дейности на открито. По -големи стойности на факторите на претеглянеa3 , a4 , a5 иa6 са избрани за употреба на офис.
4.Конклузия
В това проучване сме разработили нов дизайн подход, който има повече контрол върху спомагателната функция и следователно отговаря на по -индивидуализираната корекция на зрението. За да постигнем целта, ние решаваме уравнението на Лаплас числено. Условията за гранични и връзки са зададени да отговарят на специфични изисквания. В резултат на това специфична нужда от размерите и фокусните сили на разстоянието и близките региони може да бъде изпълнена в дизайна на PAL в по -голяма степен. Размерите и разпределението на районите на астигматизма също са подобрени с нашия подход. Примерите демонстрират способността на нашия подход.
Финансиране
Национална природонаучна фондация на Китай (NSFC) (61378056); Фондация за природни науки на висшите учебни заведения на провинция Джиангсу (Китай) (17KJA140001); програмата PAPD на провинция Джиангсу; KIANGSU Основни дисциплини от тринадесет петгодишен план (20168765); Ключова лаборатория Suzhou за нискомерни оптоелектронни материали и устройства (SYG201611); Планът за иновации на ключови технологии Suzhou (SYG201646); Центърът за иновации на USTS.
Признания
Авторите са благодарни и на професор Qian Lin от университета Soochow за ценни съвети и на д -р Као Зонгджиян от университета Августа в САЩ за редакторски предложения.